Древнерусские «вавилоны» на Тамани.
Б. А. Рыбаков. Архитектурная математика древнерусских зодчих.
На Таманском полуострове, на территории Тмутаракани в центральной части города за время работ Таманской экспедиции (1952—1955 г.г.) нами было найдено пять «вавилонов». Все они связаны с определенными зданиями.
Мстислав Владимирович Тмутараканский, по прозвищу Храбрый или Удалой,( ок. 983—1036 г.г., Чернигов), в крещении Константин, князь Тмутараканский (990/1010—1036 г.г.), князь Черниговский (1024—1036), сын Владимира Святого построил храм в столице Тмутаракане в 1023 г.
Среди остатков каменотесной мастерской, созданной в процессе постройки храма была найдена расколотая плита розового новороссийского песчаника с начертанным на ней квадратным «вавилоном» (рис. 9). Этот розовый песчаник служил для самых различных частей здания: из него тесались плиты для вымостки пола, устои для алтарной преграды, резались орнаментальные вставки для тимпанов и т. п.
Чертеж врезан четко и определенно; сторона наибольшего квадрата равна 19 см, т. е. русской «малой пяди» (1/8 прямой сажени). Все это может говорить в пользу практического применения данного чертежа тмутараканскими каменотесами при определении размеров тех или иных деталей.
5. В этой же каменотесной мастерской найдено горло амфоры XI века со схематическим изображением трех вписанных квадратов (рис. 10). Единственное значение, которое мог иметь этот знак в XI в., это служить тамгой артели строителей храма; как знак собственности строителей или каменотесов он и попал на сосуд для вина.
Рис. 10. Горло амфоры XI века из каменотесной мастерской с тамгой строителей. Таманское городище, 1954 г. Рис. 11. «Вавилон» на надгробной плите болгарского вельможи Мостича. Середина X века.
Как видим, все тмутараканские находки связаны с определенными архитектурными сооружениями, и, что особенно важно отметить, все они стратиграфически залегают на уровне фундаментов, на уровне строительной «долины».
В 1952 г. прямоугольный «вавилон» был найден в Болгарии в Преславе на надгробной плите вельможи Мостича, датируемой 950—960 годами (рис. 11).
Особенно важны для нас, находки на Тамани — таманская черепица X века с двумя чертежами и старорязанская плита.
Тмутараканская черепица показала, что могут быть «вавилоны» двух видов — квадратные и прямоугольные. Начерчены они, небрежно и служить непосредственно «рабочими чертежами», разумеется, не могли. Однако, несмотря на неточности выполнения, здесь легко угадываются те геометрические фигуры, которые древний тмутараканец стремился воспроизвести на глаз. Наложение точного чертежа, выполненного циркулем и угольником на эти рисунки, убеждает в существовании определенных закономерностей.
Не подлежит сомнению, что один из рисунков на черепице изображает систему трёх вписанных квадратов; середины сторон всех трёх квадратов соответственно соединены четырьмя линиями, перпендикулярными этим сторонам («лестницы зиккурата»).
Второй рисунок, сделанный более тщательно, представляет собой три вписанных прямоугольника, размеры сторон которых находятся в зависимости от размеров первой фигуры: длинная сторона большого (внешнего) прямоугольника равна стороне большого квадрата, а его короткая, боковая сторона равна стороне среднего квадрата (или, что одно и то же, половине диагонали большого квадрата). Два внутренних прямоугольника второй фигуры дают следующие закономерности: длинная сторона каждого из них равна короткой стороне следующего по величине (большего) прямоугольника, середины сторон также соединены линиями. Геометрически построить такую фигуру, как три вписанных прямоугольника с отношением длинных сторон к коротким как а: (a/2)* 
можно только при помощи вспомогательного чертежа в виде трёх вписанных квадратов.
По счастью, этот вспомогательный чертёж был сделан на этом же самом куске таманской черепицы.
«Вавилоны» тмутараканской церкви середины X века мы должны рассматривать как два сопряженных между собой чертежа: три вписанных квадрата были вспомогательным чертежом (выполненным более небрежно), необходимым для построения второго чертежа, состоящего из прямоугольников.
Каким же целям должен был служить этот сложный чертеж, ради чего создавалась такая геометрическая композиция?
Ответить на эти вопросы можно лишь, ознакомившись с математическими свойствами этого чертежа. Оказывается, что стороны прямоугольников и расстояния между узловыми точками чертежа (углами и пересечениями линий) таят в себе множество различных соотношений, которые известны в архитектуре и прикладной геометрии средневековья.
Обозначим все точки нашей фигуры буквами русского алфавита (рис. 13) и перечислим соотношения линий. В основе фигуры лежат шесть пар прямых линий (сторон прямоугольников), разделенных пополам, и две пары пересекающих их линий, которые разделяются на две неравные части каждая. Если же учитывать не только изображенные на чертеже линии, но и те, которые могут быть проведены от точки к точке, то количество линий возрастет до 42 линий.
Линии «вавилона» образуют несколько пропорциональных рядов. Вот, например, один из них: МФ/МГ = МГ/БК = ГФ/БТ = УС/УХ = АВ/БД.
Среди линий «вавилона» нетрудно подыскать свыше десятка отношений, очень близких к «золотому сечению»: м/М = М/(м + М). Приближенность решений определяется только при математическом анализе, но практически она неуловима. Наиболее точным является отношение: ВК/АЛ = АЛ/(ВК + АЛ) = АЛ/БД. Здесь суммой двух отрезков является длинная сторона прямоугольника А.
Погрешность равна 0,003 этой стороны; при практических построениях она была мало заметна.
При помощи изучаемого нами графика можно быстро и с достаточной для практических целей точностью решить все важнейшие задачи средневековых геометров.
Упомянутый выше Абуль-Вафа (940—998 гг.) посвятил специальную книгу задачам на построение равновеликих фигур. Со всей строгостью настоящего учёного обрушился он на «методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах», и дал взамен их математически безупречные, но необычайно сложные и громоздкие решения этих задач,руководствуясь «началами» Эвклида. Однако не все задачи, интересовавшие тогдашних практиков, могли быть решены строго математически — такова, например, была древняя задача о нахождении геометрическим путем квадрата, равновеликого кругу, задача «квадратуры круга»1).
Современный Абуль-Вафе тмутараканский график из трех вписанных прямоугольниковпозволяет с очень большой степенью точности (хотя и не всегда теоретически верно) почти моментально решать все подобные задачи, включая и «квадратуру круга».
Рассмотрим несколько примеров, взяв за основу квадрат, сторона которого равна длинной стороне внешнего прямоугольника «вавилона» (А).
1. Удвоение квадрата (рис. 14):
Сторона удвоенного квадрата равна удвоенной боковой стороне «вавилона» (т. е. 2 АВ или 2 ДЖ).
2. Построение двух равных квадратов, сумма площадей которых равна площади основного квадрата:
Сторона каждого малого квадрата равна АВ или ДЖ.
3. Построение трех квадратов на тех же условиях:
Удвоенная линия БЛ (или три других, ей соответствующих — БИ, БН, БП) является стороной искомого квадрата.
4. Построение равностороннего треугольника, равновеликого квадрату:
сторона треугольника равна удвоенной линии АЧ. Высота его будет равна удвоенной линии ТН.
5. Построение правильного шестиугольника, равновеликого квадрату:
Стороной шестиугольника будет больший отрезок стороны квадрата, разделенной в «золотом сечении», т. е. линия АЛ.
6. Построение квадрата, равновеликого кругу («квадратура круга»): удвоение квадрата; деление квадрата на два; деление квадрата на три; построение треугольника, равновеликого квадрату; построение шестиугольника, равновеликого квадрату; приближенное решение квадратуры круга.
Примем диаметр окружности равным большой стороне «вавилона». Сторона искомого квадрата будет равна сумме боковой стороны «вавилона» и линии ГФ (поперечной линии, соединяющей длинные стороны всех трех прямоугольников). Погрешность здесь будет очень невелика и практически почти неощутима — 0,0023 диаметра; ошибки в задачах 3 и 5 тоже очень малы и не превышают 0,005-0,003. Наименее точно решение задачи 4 (ошибка равна 0,08). Задачи 1, 2 решаются точно.
Как видим, для средневековых практиков, осужденных Абуль-Вафой, все подобные задачи решались поразительно просто — располагая «вавилоном» в определенную меру (например, с большой стороной в «локоть»), мастера и архитекторы должны были только знать, который из 42 размеров этого графика нужно взять в качестве стороны искомой фигуры.
Зная свойства «вавилона», можно было быстро, не производя ни расчетов, ни геометрических построений, сразу же разделить локоть в отношении «золотого сечения», найти фигуры, равновеликие квадратному локтю, дать несколько пропорциональных рядов, дать графическое изображение ряда иррациональных величин: а
, a
, a
, a
, a
…
Неудивительно, что этот математически универсальный замечательный график мог стать ещё в глубокой вавилонской древности символом зодческой мудрости, «хытрости храмоздательской».
Перечисленными выше примерами далеко не исчерпываются расчётные возможности прямоугольного «вавилона».
Обращение к древнерусским мерам длины открывает нам ещё одну область применения нашего графика.
Возьмем за основу ту меру, которую сами древнерусские люди считали основной и называли «мерной саженью». Размер ее колеблется по разным данным между 176,0-176,8 см1).
Примем среднюю величину в 176,4 см и построим квадрат, со стороной в мерную сажень, а на основе квадрата — прямоугольный «вавилон», длинная сторона которого будет, как известно, тоже равна мерной сажени в 176,4 см.
Все виды древнерусских саженей займут положение основных геометрических линий этой фигуры (рис. 15):
Великая сажень (249,46 см) — диагональ квадрата
«Сажень без чети» (197,21 см) — диагональ половины квадрата
Мерная сажень (176,4 см) — сторона квадрата
Косая сажень (216,04 см) — диагональ «вавилона»
Прямая сажень (152,76 см) — диагональ короткой половины «вавилона»
«Трубная сажень» (187,08 см) — диагональ длинной половины «вавилона»
Половина великой сажени (124,73 см) — короткая сторона «вавилона».
Только так называемая «морская сажень» не занимает здесь основного положения и может быть приурочена к линии АН (184 см).
Все стороны внутренних прямоугольников «вавилона» являются здесь фракциями двух саженей — мерной и великой.
Пересекающие линии «вавилона» («лестницы зиккурата») также оказываются выраженными в мерах длины: Линии БТ и ЦЕ равны локтю (44,1 см), равны 1/4 мерной сажени. Линии ГФ и ШЗ равны 1/2 локтя «смоленского» (31,18 см), равны 1/8 великой сажени.
Таким образом, для построения такого «вавилона» нужно иметь только два «прута по четыре локтя», из которых один равен стороне квадрата, а другой — его диагонали.
Геометрическая сопряженность всех древнерусских мер длины, связанность их определенной общностью, принадлежностью к единой системе становится особенно ясной тогда, когда мы рассмотрим их с точки зрения «метода построения по системе диагоналей», широко применявшегося еще в архитектуре Древнего царства Египта.
Если мы построим квадрат, сторона которого равна половине мерной сажени, то диагональ его будет равна половине великой сажени. Отложим диагональ на продолжении двух сторон квадрата, соединим точки и получим прямоугольник со сторонами А и А
.
Диагональ его будет равна А
= прямой сажени.
Продолжив построение по этому «принципу диагоналей» новых прямоугольников, мы получим последовательно (рис. 16):
A
= 152,76 — прямая сажень
A
= 176,4 — мерная сажень
A
= 197,21 — «сажень без чети»
А
= 216,04 — косая сажень
А
= 249,46 — великая сажень
Следовательно, основной принцип архитектурных пропорций древней Руси был заложен в самой системе мер длины. Возможно, что именно их геометрическая сопряженность и позволила им сохраниться на Руси в таком полном комплекте. Одна мера была основной («мерная сажень»), а другие были геометрическими производными от неё и могли служить при тех или иных пропорциональных расчётах.
http://ru-sled.ru/drevnerusskie-vavilony-na-tamani/
Тайна архитектурных расчётов древнерусских зодчих.
Б. А. Рыбаков. Архитектурная математика древнерусских зодчих.
Постройки древнерусских зодчих до сих пор восхищают продуманной соразмерностью, удивительной гармонией своих частей, строгой логикой архитектурного замысла.
Методы архитектурных расчётов XI—XIII веков нам почти неизвестны. Подходя к их раскрытию с нашей современной меркой, рассматривая древнюю архитектуру с точки зрения эвклидовой геометрии, мы можем открыть и математически обосновать заключенные в ней пропорциональные соотношения. Интересная и ценная работа в этом направлении проделана К. Н. Афанасьевым.
Однако у нас нет никакой уверенности в том, что и древнерусские зодчие шли в своих расчётах тем же путём, отправляясь от теоретически безукоризненных положений великого греческого геометра.
Наоборот, свидетельства средневековых математиков говорят о применении их современниками приближенных, практически удобных, но теоретически не обоснованных расчётов.
Так, например, знаменитый персидский математик Абуль-Вафа, современник древнейших русских церковных построек, переводчик Эвклида и Диофанта, писал в предисловии к сборнику составленных им геометрических задач: «В настоящей книге мы займемся разложением фигур. Вопрос этот необходим многим практикам и составляет предмет особенных их разысканий… Ввиду этого мы дадим основные (теоретические) начала, которые относятся к данным вопросам, так как все методы, применяемые рабочими, не основанные на каких либо началах, не заслуживают доверия и весьма ошибочны; между тем на основании таких методов они производят различные действия».
К сожалению, эти «методы, применяемые рабочими» в архитектуре и ремесле остались нам неизвестны.
Тайна расчётов и рецептов была характерна для всех средневековых мастеров; даже передавая наследие учителей и свой опыт ученикам, они старались зашифровать свои советы, скрывая, например, под именем «желтой ящерицы» золото. Вероятно, и математические расчеты, осужденные Абуль-Вафой, составляли также секрет зодчих.
В русской средневековой литературе есть несколько интересных записей, освещающих отдельные детали расчётно-строительного процесса. В общеизвестном рассказе Киево-Печерского Патерика о постройке в 1073 г. Успенской церкви обычно обращалось внимание лишь на то, как размеряли церковь златым поясом: «20 в ширину и 30 в длину, а 30 в высоту; стены с връхом 50».
Но следует отметить, что кроме этих ценных данных, в рассказе Патерика дано почти полное описание процесса подготовки строительной площадки: выбор сухого возвышенного места, где не ложится утренняя роса, выравнивание площадки («долины») для обозначения на ней рвов («якоже ръвом подобно»), изготовление деревянного эталона в меру златого пояса («…древо бяше существом»), разметка сначала ширины, а затем и длины здания в определенных мерах, рытье рвов, и, наконец, «водружение корения», т. е. закладка каменного фундамента.
Историки архитектуры никогда не обращали внимания на интереснейшие сведения о расчётной работе зодчего, содержащиеся в славянском «Сказании о Соломоне и Китоврасе», являющемся сказочной переработкой повествований о построении соломонова храма (XII века).
Царю Соломону для начертания плана задуманного им храма понадобился мудрый кентавр — Китоврас.
В русском прикладном искусстве и архитектурной орнаментике изображения кентавра-Китовраса довольно часты . Следует упомянуть кентавров с жезлами на стенах Георгиевского собора в Юрьеве-Польском (1236 г.).
Изображение мудрого кентавра с пальцем у лба (жест размышления) на створке серебряного браслета XII—XIII вв. из так называемого Тверского клада 1906 года. Мудрый Китоврасизображен здесь в окружении трех стихий (воды, земли и воздуха) и представителей двух царств природы — животного (зверь) и растительного (плодоносящее древо) (рис. 1).
«Сказание о Соломоне и Китоврасе» сохранило нам древнерусское наименование архитектурного плана — «очертание»; Соломон говорит Китоврасу: «не на потребу тя приведох собе, но на упрос очертанию святая святых».
Самым важным в этом эпизоде является то, что Китоврас, зная заранее, что он призван царём для изготовления плана будущего храма, явился к нему с деревянными мерилами, эталонами каких-то мер: «Он же (Китоврас) умеря прут 4 локоть и вшед пред царя, поклонися и поверже пруты пред царем молча…»
Здесь для нас особенно интересно то, что главными инструментами архитектора, необходимыми ему для создания «очертания», являются деревянные мерила (описанные во множественном числе) по 4 локтя в каждом. Обращение к древнерусской метрологии показывает полную достоверность сообщений «Сказания»: во-первых, в древней Руси применялось одновременно несколько видов саженей, а во-вторых, каждая сажень подразделялась именно на 4 локтя; такое деление просуществовало до XVI века.
Очевидно, волшебный архитектор Китоврас был наделен автором сказания реальными принадлежностями русского зодчего в виде изготовленных из дерева саженей, подразделенных на 4 локтя.
Эти два упоминания в литературе XII—XIII вв. о начальной стадии постройки зданий — в Патерике и в «Сказании о Соломоне и Китоврасе» — одинаково говорят о значении установленных мер, их портативных эталонов и самого процесса размеривания «очертания» храма на выровненной «долине».
Все это заставляет нас с особым вниманием отнестись к вопросу о древнерусских мерах длины и их применению в архитектуре; это поможет раскрыть методы работы древних архитекторов. Некоторых зодчих мы знаем по именам, сохраненным летописями.
Единственное изображение, которое предположительно связывают с русским архитектором Петром, известным по летописи, обнаружено в башне Антоньева монастыря в Новгороде.
В 1949 г. мною была сделана попытка пересмотра русской средневековой метрологии в целях использования мер длины при анализе архитектурных сооружений.
Основные выводы таковы:
1. В древней Руси с XI по XVII в. существовало семь видов саженей и локтей, бытовавших одновременно.
Наблюдения над русской метрологией показали, что очень мелких и дробных делений в древней Руси не применяли, а использовали многообразие мер, применяя, скажем, «локти» и «пяди» разных систем.
Древнерусские меры длины могут быть сведены в следующую таблицу:
2. Известен ряд случаев, когда одно и то же лицо производило измерение одного и того же объекта одновременно разными видами саженей.
Так, при ремонте Софийского собора в Новгороде в XVII веке измерения велись двумя видами саженей: «А внутри главы кругом где окна — 12 сажен (по 152 см), а от Спасова образа ото лбу до моста церковного — 15 сажен мерных (по 176 см)»,
При постройке засечной черты в 1638 г. «валили вал в ширину 25 сажен косых а простых — 40 сажен».
Анализ архитектурных памятников XI—XV вв. позволил утверждать, что древнерусские зодчие широко применяли одновременное пользование двумя или даже тремя видами саженей
3. Непонятное для нас одновременное пользование разными мерами длины объясняется заложенными в этих мерах при их создании строгими геометрическими соотношениями (рис. 3).
Геометрическая сопряженность древнерусских саженей особенно ясна в наименовании «прямой» и «косой» сажени. Оказалось, что прямая сажень есть сторона квадрата, а косая — его диагональ (216 = 152,7). Такое же соотношение существует между «мерной» и «великой» (косой) саженями: 249,4 = 176,4.
«Сажень без чети» оказалась искусственно созданной мерой, являвшейся диагональю половины квадрата, сторона которого равна мерной сажени.
4. Графическим выражением этих двух систем мер длины (одной, основанной на «простой» сажени, и другой, основанной на «мерной» сажени) являются хорошо известные по древним изображениям «вавилоны», представляющие собой систему вписанных квадратов. Наименование «вавилоны» взято из русских источников XVII века. (см. рис. 3).
Новые археологические находки загадочных чертежей — «вавилонов» — на Таманском городище (древней Тмутаракани) и Старо-Рязанском городище, относящиеся к IX—XII вв., позволяют значительно углубить анализ этих чертежей и установить их тесную связь с процессом архитектурного расчёта.
Свежие комментарии